题目内容

设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)上的两点，满足
x1x2
b2
+
y1y2
a2
=0，椭圆的离心率e=
3
2
，短轴长为2，O为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，C）（C为半焦距），求直线AB的斜率k的值．
分析：（1）利用椭圆的离心率e=
3
2
，短轴长为2，求出几何量，可得椭圆的方程；
（2）设出直线AB方程为y=kx+
3
，代入椭圆方程整理，利用韦达定理及
x1x2
b2
+
y1y2
a2
=0，即可求得直线AB的斜率k的值．
解答：解：（1）∵椭圆的离心率e=
3
2
，短轴长为2，
∴b=1，
c
a
=
3
2
，
∴a=2，c=
3
，
∴椭圆的方程为
y2
4
+x2=1；…（5分）
（2）焦点F（0，
3
），直线AB方程为y=kx+
3
，代入椭圆方程整理得，（k2+4）x2+2
3
kx-1=0，
∴△＞0且x1+x2=-
2
3
k
k2+4
，x1x2=-
1
k2+4
，…（7分）
y1y2=（kx1+
3
)(kx2+
3
)=k2x1x2+
3
k(x1+x2)+3=k2（-
1
k2+4
)+
3
k(-
2
3
k
k2+4
)+3=
4(3-k2)
k2+4
，…（9分）
∵
x1x2
b2
+
y1y2
a2
=0，
∴-
1
k2+4
+
3-k2
k2+4
=0，
解得k=±
2
，…（10分）
∴直线AB的斜率k为±
2
；                  （12分）
点评：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，直线l过点F交抛物线C于A、B两点．
（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），求
1
y1
+
1
y2
的取值范围；
（Ⅱ）是否存在定点Q，使得无论AB怎样运动都有∠AQF=∠BQF？证明你的结论．
设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
的图象上两点，且
OM
=
1
2
(
OA
+
OB
)，O为坐标原点，已知点M的横坐标为
1
2
．
（Ⅰ）求证：点M的纵坐标为定值；
（Ⅱ）定义定义Sn=
n-1
i=1
f(
i
n
)=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*且n≥2，求S2011；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的Sn，设an=
1
2Sn+1
(n∈N*)．若对于任意n∈N*，不等式kan3-3an2+1＞0恒成立，试求实数k的取值范围．
设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)上的两点，已知O为坐标原点，椭圆的离心率e=
3
2
，短轴长为2，且
m
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，若
m
•
n
=0．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求△AOB的面积．
设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）=
1
2
+log2
x
1-x
图象上任意两点，且
OM
=
1
2
（
OA
+
OB
），已知点M的横坐标为
1
2
，且有Sn=f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
），其中n∈N*且n≥2，
（1）求点M的纵坐标值；
（2）求s2，s3，s4及Sn；
（3）已知an=
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
，其中n∈N*，且Tn为数列{an}的前n项和，若Tn≤λ（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，试求λ的最小正整数值．
设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是抛物线y=x2上的三个动点，其中x3＞x2≥0，△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形．
（1）求证：直线BC的斜率等于x2+x3，也等于
x2-x1x3-x2
；
（2）求A、C两点之间距离的最小值．

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