题目内容

若x，y∈（0，+∞），且x2+
y2
2
=1，则x
1+y2
的最大值为
3
2
4
3
2
4
．
分析：首先由等式x2+
y2
2
=1，求x
1+y2
的最大值，故考虑先解出x关于函数y的值，把它代入x
1+y2
求出关于y的函数
(1+
y2
2
)(1+y2)
再配方即可求出x
1+y2
的最大值．
解答：解：因为x，y∈（0，+∞），且x2+
y2
2
=1，
则解出x=
1+
y2
2
，则把解出的x代入x
1+y2
，
得x
1+y2
=
(1+
y2
2
)(1+y2)
=
-
1
2
(y2-
1
2
)2+
9
8

则x
1+y2
的最大值为
9
8
=
3
2
4
．
故答案为
3
2
4
．
点评：此题主要考查由函数解析式求极值的问题，求解中用到配方法求极值的知识点，有一定的计算量，且此类题型在高考中多以填空题的形式出现，同学们要多加注意．
练习册系列答案
相关题目
请用不等号连接：若x＞y＞0，则xy
＞
＞
y2．
下列不等式中，
（1）若ax＞b，则x＞
b
a
；
（2）若a＞b，x＞y，则ax＞by；
（3）若x＞y＞0，则x2＞y2；
（4）若
x
a2
＞
y
a2
，则x＞y．
其中正确的命题是（　　）
若x，y＞0，且
1
x
+
3
y
=1，则x+3y的最小值为
16
16
．
若x、y满足
0≤x≤2
0≤y≤2
x+y≥1
，则 x2+y2的最小值是
1
2
1
2
．
（1）证明不等式：若x，y＞0，则(x+y)(
1
x
+
1
y
)≥4
（2）探索猜想下列不等式，并将结果填在括号内：若x，y，z＞0，则(x+y+z)(
1
x
+
1
y
+
1
z
)≥
9
9
；
（3）试由（1）（2）归纳出更一般的结论：
若x1，x2，…，xn＞0，则(x1+x2+…+xn)(
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xn
)≥n2
若x1，x2，…，xn＞0，则(x1+x2+…+xn)(
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xn
)≥n2
．

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