Question

【题目】已知数列中，，,.

（1）求证：数列是等比数列；

（2）求数列的通项公式；

（3）设，，若对任意，有恒成立，求实数m的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）将，变形为，利用等比数列的定义即可证明；

（2）根据（1）的结论可以得出，之后应用累加法求得，一定不要忘记对首项的验证；

（3）对相应的项进行裂项，之后求和，再利用数列的单调性，不等式的解法即可得出结果.

（1）证明：∵，∴.

，∴，∴.

∴数列是首项、公比均为2的等比数列.

（2）∵是公比为2，首项为2的等比数列，通项，

故

，当时，符合上式，∴数列的通项公式为

（3）∵，，

∴

故，又因为单调递增，所以的最小值为，成立，

由已知，有，解得，所以m的取值范围为.