Question

已知函数f（x）=lnx-x+1（x∈[1，+∞）），数列{a_n}满足a1=e，

an+1

an

=e(n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）；
（3）求证：1•2•3•…•n≤e

n(n-1)

2

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）由

an+1

an

=e，知{a_n}是等比数列，又a₁=e，可得数列{a_n}的通项公式．
（2）由f（a_n）=lneⁿ-eⁿ+1=（n+1）-eⁿ，得f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）的值．
（3）由函数f（x），求得f'（x），由导数判断f（x）递减，从而得f（x）≤f（1）=0，即lnx≤x-1，所以：ln1+ln2+…+lnn≤0+1+…+（n-1），即证得．

解答：解：（1）∵

an+1

an

=e，∴{a_n}是等比数列，又a₁=e，∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=eⁿ．
（2）由（1）知，f（a_n）=lneⁿ-eⁿ+1=（n+1）-eⁿ，
∴f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）=[2+3+…+（n+1）]-（e+e²+…+eⁿ）
=

n2+3n

2

-

e-en+1

1-e

．
（3）由函数f（x）=lnx-x+1，得f′(x)=

1

x

-1，又x≥1，∴f'（x）≤0，
∴f（x）递减，∴f（x）≤f（1），
即f（x）≤0，也就是lnx≤x-1，
于是：ln1+ln2+…+lnn≤0+1+…+（n-1），
即ln(1•2•3•…•n)≤

n(n-1)

2

，
故1•2•3…•n≤e

n(n-1)

2

．

点评：本题考查了函数与数列的综合应用，解题时应认真分析，细心解答，以免出错．