Question

（本题满分15分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，经过点，离心率．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）椭圆的左、右顶点分别为、，点为直线上任意一点（点不在轴上），

连结交椭圆于点，连结并延长交椭圆于点，试问：是否存在，使得成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】(1)由离心率和椭圆上的一个点可建立关于a,b的两个方程，然后求解即可.

(II)先根据抛物线方程和椭圆方程解出A，然后设：，则：，由l₁与椭圆方程联立，借助韦达定理可求出,同理可求出,然后再根据,得到m关于k的函数关系式，由k>0,可确定m的取值范围.

（Ⅰ）的焦点为，的焦点为，

由条件得

所以抛物线的方程为

（Ⅱ）由得，交点

设：，则：，

设

将代入得：，

由韦达定理得：，；

同理，将代入得：，

由韦达定理得：，，

所以

因为，所以