Question

过原点O作经过A(1，1)，B(2，2)两点的圆的切线，则切点的轨迹是

[　　]

A．

4x²＋y²＝1(x≠y)

B．

x²－y²＝4(x≠y)

C．

4y²＋x²＝1(x≠y)

D．

x²＋y²＝4(x≠y)

Answer 1

答案：D
解析：

分析一：若是选择、填空题可考虑选用几组特殊值代入求解． 　　解法一：如图，若AB为直径，C为圆心，过点O作该圆的切线，P(x，y)为切点． 　　因为点C为线段AB的中点，所以点C的坐标为． 　　连接CP，则CP⊥OP． 　　所以OP2＝OC2－CP2，即OP2＝OC2－CA2． 　　所以x2＋y2＝＋－＝4(x≠y)．故选D． 　　分析二：过点O作经过A，B两点的圆的切线，设P为切点，考虑PO是否为定值，若是，则点P的轨迹可确定． 　　解法二：过点O作经过A，B两点的圆的切线，设P为切点． 　　如图，连接AP． 　　因为两已知点的坐标分别为A(1，1)，B(2，2)， 　　所以O，A，B三点在同一直线上． 　　结合平面几何知识，可知∠OPA＝∠B． 　　又因为∠AOP＝∠BOP，所以△AOP∽△POB． 　　所以＝． 　　所以OP2＝OA·OB＝×＝4． 　　所以|OP|＝2． 　　所以点P的轨迹是以O为圆心，2为半径长的圆(不包括(，)，(－，－)两点)，其轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠y)．故选D． 　　分析三：由已知条件设法找到一几何等式，然后将其坐标化，即可得到切点的轨迹方程． 　　解法三：由解法二知，OP2＝OA·OB．设点P的坐标为(x，y)，将坐标代入，得x2＋y2＝×＝4(x≠y)．故选D． 　　分析四：设P(x，y)为切点，C(a，b)为圆心，可先考虑将x，y，a，b联系起来，然后消去a，b即可得到点P的轨迹方程． 　　解法四：设P(x，y)为切点，C(a，b)为圆心，如图，则CP⊥OP． 　　所以OP2＝OC2－CP2＝OC2－CA2． 　　所以x2＋y2＝a2＋b2－[(a－1)2＋(b－1)2]＝2(a＋b)－2．(*) 　　因为两已知点的坐标分别为A(1，1)，B(2，2)， 　　所以线段AB的中点D的坐标为． 　　所以线段AB的垂直平分线CD的方程为x＋y－3＝0． 　　把C(a，b)代入，得a＋b－3＝0，即a＋b＝3， 　　代入(*)式，得x2＋y2＝6－2＝4(x≠y)． 　　故选D． 　　点评：以上四种解法虽然有些解法用到的等式一样，但解法的本质是不一样的，希望同学们细心区分这四种解法的异同，领会其解题思想，掌握其解题方法，以便遇到轨迹题时可迅速选择一种较简捷的方法解答．