Question

【题目】已知函数.

（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；

（2）若函数在上存在两个极值点，，且，证明：.

Answer 1

【答案】(1);(2)见解析.

【解析】分析：（1）由题意得出在定义域上恒成立，即，

设，则，由此利用导数求得函数单调性与最值，即可求解；

（2）由（1）知，由函数在上存在两个极值点，，推导出∴ ，设，则，要证，只需证，构造函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可作出求解.

详解：（1）∵在上是减函数，

∴在定义域上恒成立，

∴，

设，则，

由，得，由，得，

∴函数在上递增，在上递减，

∴，∴.

故实数的取值范围是.

证明：（2）由（1）知，

∵函数在上存在两个极值点，，且，

∴，

则，∴，

∴ ，

设，则，

要证，

只需证，只需证，只需证，

构造函数，则，

∴在上递增，

∴，即，

∴.