题目内容

已知函数f（x）=x3-3ax+2，其中a＞0
（1）求f（x）的单调区间与极值；
（2）求a的范围，使得方程x3-3ax+2=0有①唯一实根   ②三个不相等的根．
分析：（1）求导，令导数等于零，解方程，根据导数的符号与函数单调性的关系即可求出f（x）的单调区间与极值；
（2）方程x3-3ax+2=0有①唯一实根，只要极大值小于零或极小值大于零即可，解此不等式即可求得结果；方程x3-3ax+2=0有②三个不相等的根，只要极大值大于零且极小值小于零即可，解此不等式组即可求得结果．
解答：解：（1）f′（x）=3x2-3a，由f′（x）=0得x=±
a

x （-∞，-
a
）		 -
a
 （-
a
，
a
）
a
 （
a
，+∞）
f′（x） + 0 - 0 +
∴f（x）的递增区间（-∞，-
a
），（
a
，+∞）递减区间为（-
a
，
a
），
f极大值=f（-
a
）=2a
a
+2，f极小值=f（
a
）=-2a
a
+2；
（2）①要使方程有唯一实根，应有2a
a
+2＜0或-2a
a
+2＞0
解得0＜a＜1 即当a∈（0，1）方程有唯一的实根
②当方程有三个不相等的根时应有-2a
a
+2＜0＜2a
a
+2，
解得a＞1，即当a∈（1，+∞）时方程有三个不相等的实根．
点评：本小题主要考查函数的单调性、导数的应用、解不等式等基础知识，以及推理能力、运算能力和综合应用数学知识的能力，属中档题．
练习册系列答案
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精英家教网已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)
（2012•深圳一模）已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

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