题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（1）求函数f（x）的最小正周期，最大值及取最大值时相应的x值；
（2）如果 $数学公式$ ，求f（x）的取值范围．

解：（1）f（x）=2sinx（ $\text{[math]}$ cosx- $\text{[math]}$ sinx）+ $\text{[math]}$ sinxcosx+cos²x
=2 $\text{[math]}$ sinxcosx+cos²x-sin²x
= $\text{[math]}$ sin2x+cos2x
=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）…（6分）
∴f（x）的最小正周期T= $\text{[math]}$ =π．
当2x+ $\text{[math]}$ =2kπ+ $\text{[math]}$ ，x=kπ+ $\text{[math]}$ （k∈z）时，f（x）取得最大值2．…（10分）
（2）由0≤x≤ $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，
- $\text{[math]}$ ≤sin（2x+ $\text{[math]}$ ）≤1，
∴f（x）的值域为[-1，2]…（14分）
分析：（1）利用三角函数的倍角公式与辅助角公式将f（x）转化为f（x）=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ），即可求得函数f（x）的最小正周期，最大值及取最大值时相应的x值；
（2）由0≤x≤ $\text{[math]}$ 可求得 $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，利用正弦函数的性质即可求得f（x）的取值范围．
点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的性质，考查转化与运算能力，属于中档题．