Question

若等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足为常数，则称该数列为S数列．
（1）判断a_n=4n-2是否为S数列？并说明理由；
（2）若首项为a₁的等差数列{a_n}（a_n不为常数）为S数列，试求出其通项；
（3）若首项为a₁的各项为正数的等差数列{a_n}为S数列，设n+h=2008（n、h为正整数），求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由等差数列的通项公式找出等差数列的首项和公差，然后利用等差数列的前n项和的公式表示出S_n和S_2n，求出 等于 为常数，所以得到该数列为S数列；
（2）设此数列的公差为d，根据首项和公差，利用等差数列的前n项和的公式表示出S_n和S_2n，因为此数列为S数列，得到 等于常数，设比值等于k，去分母化简后得到关于n的一个多项式等于0，令其系数和常数项等于0即可求出k和d值，根据首项和公差d写出该数列的通项公式即可．
（3）根据已知条件首项为a₁的各项为正数的等差数列{a_n}为S数列，设n+h=2008，利用基本不等式求出的最小值．
解答：解：（1）由a_n=4n-2，得，所以它为S数列；                       （4分）
（2）假设存在等差数列{a_n}，公差为d，
则（常数）（6分）
∴2a₁n+n²d-nd=4a₁kn+4n²dk-2nkd化简得d（4k-1）n+（2k-1）（2a₁-d）=0①
由于①对任意正整数n均成立，
则解得：（8分）
故存在符合条件的等差数列，
其通项公式为：a_n=（2n-1）a₁，其中a₁≠0（10分）
（3）∵（12分）
∴．（14分）
其最小值为，当且仅当n=h=1004取等号                   （16分）
点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，掌握题中的新定义并会利用新定义化简求值，是一道综合题．