题目内容

椭圆
x2
25
+
y2
9
=1和双曲线
x2
9
-
y2
7
=1有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则 COS∠F1PF2=
1
8
1
8
．
分析：利用双曲线、椭圆的定义，建立方程，求出|PF1|，|PF2|，再利用余弦定理，即可求得结论．
解答：解：不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2×3=6 ①
由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2×5=10 ②
由①②可得|PF1|=8，|PF2|=2，∵|F1F2|=8，
∴cos∠F1PF2=
82+22-82
2×8×2
=
1
8
．
故答案为：
1
8
．
点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，利用双曲线、椭圆的定义，建立方程是关键．
练习册系列答案
相关题目
在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A（-4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆
x2
25
+
y2
9
=1上，则
sinA+sinC
sinB
=
 
．
设P是椭圆
x2
25
+
y2
9
=1上一点，M、N分别是两圆：（x+4）2+y2=1和（x-4）2+y2=1上的点，则|PM|+|PN|的最小值与最大值的积为
96
96
．
椭圆
x2
25
+
y2
9
=1的焦点F1，F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则△ABF2的周长是（　　）
设F1、F2，分别是椭圆
x2
25
-
y2
9
=1的左、右焦点，点P在椭圆上，若|PF1|=9|PF2|，则P点的坐标为
（5，0）
（5，0）
．
有下列五个命题：
①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题．
②在平面内，F1、F2是定点，丨F1F2丨=6，动点M满足丨MF1丨-丨MF2丨=4，则点M的轨迹是双曲线．
③“在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件．
④“若-3＜m＜5，则方程
x2
5-m
+
y2
m+3
=1是椭圆”．
⑤已知向量
a
，
b
，
c
是空间的一个基底，则向量
a
+
b
，
a
-
b
，
c
也是空间的一个基底．
⑥椭圆
x2
25
+
y2
9
=1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为5．
其中真命题的序号是
①③⑤⑥
①③⑤⑥
．

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