Question

已知函数f（x）=log_a（a＞0，b＞0，a≠1）．
（1）求f（x）的定义域；（2）讨论f（x）的奇偶性；
（3）讨论f（x）的单调性．

Answer 1

解：（1）使f（x）有意义，则＞0，
∵b＞0，∴x＞b或x＜-b，
∴f（x）的定义域为{x|x＞b或x＜-b}．
（2）由（1）知f（x）的定义域关于原点对称，
∵f（-x）=log_a=log_a=log_a^-1=-log_a=-f（x）．
∴f（x）为奇函数．
（3）设u===1+，
设x₁＞x₂，则u₁-u₂=1+-=，
当x₁＞x₂＞b时，＜0，即u₁＜u₂，
此时，u为减函数，同理-b＞x₁＞x₂时，u也为减函数．
∴当a＞1时，f（x）=log_a在（-∞，-b）上为减函数，在（b，+∞）上也为减函数．
当0＜a＜1时，
f（x）=log_a在（-∞，-b）上为增函数，在（b，+∞）上也为增函数．
分析：（1）真数要大于0；（2）用奇偶性定义讨论；（3）先转化函数再用单调性定义讨论．
点评：本题主要考查函数的基本性质单调性和奇偶性，是函数中的常考题型，属中高档题．