Question

【题目】设函数.

（1）求的单调区间；

（2）当时，若对，都有（）成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）0

【解析】

（1），．对分类讨论，可得其单调区间．

（2）当时，对，都有恒成立， ，令，只需，利用导数研究其单调性即可得出．

解：（1），.

当时，在恒成立，在是单减函数.

当时，令，解之得.

从而，当变化时，，随的变化情况如下表：

	-	0	+
	单调递减		单调递增

由上表中可知，在是单减函数，在是单增函数.

综上，当时，的单减区间为；

当时，的单减区间为，单增区间为.

（2）当，为整数，且当时，恒成立

.

令，只需；

又，

由（1）得在单调递增，且，

所以存在唯一的，使得，

当，即单调递减，

当，即单调递增，

所以时，取得极小值，也是最小值，当时，

而在为增函数，，

即.而，

，即所求的最大值为0.