Question

设函数f（x）=a²lnx-x²+ax，a＞0，且f（1）≥e-1．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间
（Ⅱ）求所有的实数a，使e-1≤f（x）≤e²对x∈[1，e]恒成立．注：e为自然对数的底数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减来求f（x）的单调区间即可．
（Ⅱ）先利用（Ⅰ）的结论求出f（x）在[1，e]上的最值，把原不等式转化为比较f（x）在[1，e]上的最值与两端点值之间的关系即可求所有的实数a．

解答：解：（Ⅰ）因为f（x）=a²lnx-x²+ax，其中x＞0．
所以f'（x）=

a2

x

-2x+a=-

(x-a)(2x+a)

x

．
由于a＞0，所以f（x）的增区间为（0，a），f（x）的减区间为（a，+∞）．
（Ⅱ）证明：由题得，f（1）=a-1≥e-1，即a≥e，
由（Ⅰ）知f（x）在[1，e]内单调递增
要使e-1≤f（x）≤e²对x∈[1，e]恒成立，
只要

f(1)=a-1≥e-1 f(e)=a2-e2+ae≤e2

解得a=e．

点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．