题目内容
已知函数f（x）=x2-2x+3（x∈R）
（1）写出函数f（x）的单调增区间，并用定义加以证明．
（2）设函数f（x）=x2-2x+3（2≤x≤3）试利用（1）的结论直接写出该函数的值域（用区间表示）．
（1）写出函数f（x）的单调增区间，并用定义加以证明．
（2）设函数f（x）=x2-2x+3（2≤x≤3）试利用（1）的结论直接写出该函数的值域（用区间表示）．
分析：（1）先写出函数的单调增区间为对称轴的右侧，再用定义进行证明，关键是作差、变形定号；
（2）利用f （x）在[2，3]上是增函数，即可得到结论．
（2）利用f （x）在[2，3]上是增函数，即可得到结论．
解答：解：（1）f （x）的单调增区间为[1，+∞）
下面用定义证明：设x1、、x2是[1，+∞）上任意两个值，且x1＜x2
则f （x1）-f （x2）=x12-2x1+3-（x22-2x2+3）
=（x1-x2）（x1+x2-2）
∵1≤x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1+x2-2＞0
∴∴f （x1）-f （x2）＜0
∴f （x1）＜f （x2）
∴f （x）在[1，+∞）上是增函数．
（2）∵f （x）在[1，+∞）上是增函数，
∴f （x）在[2，3]上是增函数
∴2≤x≤3时，f（x）的最大值f （3）=6，最小值f （1）=2，值域为[2，6]．
下面用定义证明：设x1、、x2是[1，+∞）上任意两个值，且x1＜x2
则f （x1）-f （x2）=x12-2x1+3-（x22-2x2+3）
=（x1-x2）（x1+x2-2）
∵1≤x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1+x2-2＞0
∴∴f （x1）-f （x2）＜0
∴f （x1）＜f （x2）
∴f （x）在[1，+∞）上是增函数．
（2）∵f （x）在[1，+∞）上是增函数，
∴f （x）在[2，3]上是增函数
∴2≤x≤3时，f（x）的最大值f （3）=6，最小值f （1）=2，值域为[2，6]．
点评：本题考查函数的单调性，考查函数的最值，考查学生的计算能力，属于基础题．
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小学生10分钟口算测试100分系列答案
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A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
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| ||
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