Question

双曲线C1：x2-

y2

3

=1的一条渐近线与椭圆C2：

x2

a2

+

y2

a2-4

=1相交于点P，若|OP|=2，则椭圆C₂的离心率为（　　）

• A．

  3

  -1
• B．

  3 -1

  2

• C．

  2

  -1
• D．

  2 -1

  2

Answer 1

分析：先根据双曲线C1：x2-

y2

3

=1，得出它的一条渐近线方程为：y=

3

x，其倾斜角为60°，从而得到∠POx=60°又|OP|=2，故可得P点的坐标，将P的坐标代入椭圆方程得a从而求出椭圆C₂的离心率．

解答：解：根据双曲线C1：x2-

y2

3

=1，得出它的一条渐近线方程为：y=

3

x，其倾斜角为60°，
设这条渐近线与椭圆C2：

x2

a2

+

y2

a2-4

=1相交于点P，
则∠POx=60°且|OP|=2，故可得P点的坐标为（1，

3

）．
代入椭圆方程得：

12

a2

+

( 3 )2

a2-4

=1，⇒a=

3

+1或a=

3

-1＜2（不合，舍去）
∴椭圆C2：

x2

a2

+

y2

a2-4

=1的a=

3

+1，b²=2

3

，
∴c=

a2-b2

=2，
则椭圆C₂的离心率为

c

a

=

2

3 +1

=

3

-1．
故选A．

点评：本小题主要考查椭圆的简单性质、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．