Question

已知双曲线C1：x2-

y2

4

=1，双曲线C₂与双曲线C₁有相同的渐近线且经过点(

3

，2)
（1）求双曲线C₂的标准方程；
（2）若直线y=x-1与双曲线C₂的两渐近线相交于A，B，求

OA

•

OB

的值．

Answer 1

分析：（1）设与x2-

y2

4

=1有共同渐近线的双曲线方程为x2-

y2

4

=λ，代入已知点可得λ，可得方程；
（2）先得双曲线C₂的两渐近线方程，联立所给直线可得得点A、B的坐标，进而可得向量的坐标，由数量积的定义可得．

解答：解：（1）设与x2-

y2

4

=1有共同渐近线的双曲线方程为x2-

y2

4

=λ，
把点(

3

，2)代入可得3-1=λ，即λ=2，
∴双曲线C₂的标准方程为x2-

y2

4

=2，即

x2

2

-

y2

8

=1；
（2）可得双曲线C₂的两渐近线为：y=±

2 2

2

x=±2x
联立

y=2x y=x-1

可解得

x=1 y=2

，同理联立

y=-2x y=x-1

可解得

x= 1 3 y= 2 3

，
故可得点A、B分别为（1，2）（

1

3

，

2

3

），
故

OA

•

OB

=1×

1

3

+2×

2

3

=

5

3

点评：本题考查双曲线的标准方程，涉及平面向量数量积的运算，属中档题．