题目内容
设函数
，
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若存在区间
，使f（x）在[a,b]上的值域是
，求k的取值范围.
，（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若存在区间
，使f（x）在[a,b]上的值域是，求k的取值范围. 解:（Ⅰ）令
，则
，
所以g（x）在
单调递减，在
单调递增，
则g（x）的最小值为
.
所以
所以f（x）的单调递增区间是（0,+∞）
【另解】 ∵
，∴
所以f（x）的单调递增区间是(0,+∞)
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）在区间
递增，
∵f（x）在[a,b]上的值域是
所以
则
在
上至少有两个不同的正根，
，
令
求导，得
，
令
则
所以G（x）在
递增，
.
当
时，
，
当
时，
所以F（x）在
上递减，在(1,+∞)上递增，
结合图象可得：
，则，所以g（x）在
单调递减，在单调递增，则g（x）的最小值为
. 所以
所以f（x）的单调递增区间是（0,+∞） 【另解】 ∵
，∴所以f（x）的单调递增区间是(0,+∞)
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）在区间
递增，∵f（x）在[a,b]上的值域是
所以
则
在上至少有两个不同的正根，，令
求导，得，令
则所以G（x）在
递增，.当
时，，当
时，所以F（x）在
上递减，在(1,+∞)上递增，结合图象可得：
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