Question

由曲线y=sin(

π

2

x)与y=x3在区间[0，1]上所围成的图形面积为

2

π

-

1

4

．

Answer 1

分析：作出两曲线在第一象限的图象如图，可得它们的公共点恰好为原点和A（1，1）．接下来根据定积分公式求出函数sin(

π

2

x)-x³在区间[0，1]上积分的值，即为所求图形的面积．

解答：解：曲线y=sin(

π

2

x)与y=x3在原点处相交，
且在第一象限内交于点A（1，1）
因此，所求阴影部分面积为
S=

∫

1 0

（sin(

π

2

x)-x³）dx=（-

2

π

cos

π

2

x-

1

4

x⁴+C）

|

1 0

，（其中C是常数）
=（-

2

π

cos

π

2

-

1

4

×1⁴+C）-（-

2

π

cos0-

1

4

×0⁴+C）=

2

π

-

1

4

故答案为：

2

π

-

1

4

点评：本题根据两个曲线方程，求它们在在区间[0，1]上所围成的图形面积．考查了定积分的计算公式和定积分的几何意义等知识，属于基础题．