Question

（2012•江西模拟）已知数列{an}满足a1=-

6

7

，1+a1+a2+…+an-λan+1=0(λ≠0，λ≠-1，n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）当λ=

1

3

时，数列{a_n}中是否存在三项成等差数列，若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意 1+a₁+a₂+…+a_n-λa_n+1=0，则1+a₁+a₂+…+a_n+a_n+1-λa_n+2=0，故（1+λ）a_n+1-λa_n+2=0，又λ≠0，λ≠-1，n∈N^*，所以an+2=

1+λ

λ

an+1，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由λ=

1

3

，知an=

- 6 7 ，n=1 3 7 •4n-2，n≥2

，假设存在任意三项a_m，a_k，a_p成等差数列．由此入手能够导出数列{a_n}存在a₁，a₂，a₃或a₃，a₂，a₁成等差数列．

解答：解：（1）由题意 1+a₁+a₂+…+a_n-λa_n+1=0①
1+a₁+a₂+…+a_n+a_n+1-λa_n+2=0②
由②-①得（1+λ）a_n+1-λa_n+2=0，又λ≠0，λ≠-1，n∈N^*，
∴an+2=

1+λ

λ

an+1，
故数列{a_n}从第二项开始为等比数列…（3分）
将n=1代入①式，1+a1-λa2=0，a2=

1+a1

λ

=

1

7λ

∴n≥2时，an=

1

7λ

(

1+λ

λ

)n-2
∴数列{a_n}的通项an=

- 6 7 ，n=1 1 7λ ( 1+λ λ )n-2，n≥2

…（6分）
（2）∵λ=

1

3

，
∴an=

- 6 7 ，n=1 3 7 •4n-2，n≥2

∵假设存在任意三项a_m，a_k，a_p成等差数列
①不妨设当m＞k＞p≥2，
∵当n≥2时，数列{a_n}单调递增，
∴2a_k=a_m+a_p，
∴2•(

3

7

)•4k-2= 

3

7

•4m-2+

3

7

•4p-2，
∴2•4^k-p=4^m-p+1，
由上式知：左边=偶数≠右边=奇数，
∴当n≥2时，数列{a_n}不存在三项成等差数列．…（9分）
②假设存在成等差数列的三项中包含a₁时
不妨设m=1，k＞p≥2且a_k＞a_p，
∵当n≥2时，a_n＞a₁，
∴2a_p=a₁+a_k，
∴2•(

3

7

)•4p-2=-

6

7

+(

3

7

)•4k-2，
∴2•4^p-2=-2+4^k-2，
∴2^（2p-3）=2^2（k-2）-2，
∵k＞p≥2，
∴当且仅当k=3，p=2时成立，
∴数列{a_n}存在a₁，a₂，a₃或a₃，a₂，a₁成等差数列．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，探索数列{a_n}中是否存在三项成等差数列．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．