题目内容

已知定义在正实数集上的函数f（x）满足①若x＞1，则f（x）＜0；②f $数学公式$ =1；③对定义域内的任意实数x，y，都有：f（xy）=f（x）+f（y），则不等式f（x）+f（5-x）≥-2的解集为 ________．

（0，1]∪[4，5）
分析：用函数的单调性求解，先证明单调性，设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，则有f（x₂）=f（ $\text{[math]}$ ）=f（ $\text{[math]}$ ）+f（x₁），f（x₂）-f（x₁））=f（ $\text{[math]}$ ）＜0，得到f（x）是减函数，然后构造单调性模型，由f $\text{[math]}$ =1求得2=2f $\text{[math]}$ =f（ $\text{[math]}$ ），再令x=y=1，求得f（1）=0，最后用定义求解，要注意所在的区间．
解答：∵f $\text{[math]}$ =1
∴2=2f $\text{[math]}$ =f（ $\text{[math]}$ ）
令x=y=1
∴f（1）=0
∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴不等式f（x）+f（5-x）≥-2可转化为：
f（x（5-x））+f（ $\text{[math]}$ ）≥0
∴f（ $\text{[math]}$ x（5-x））≥f（1）
设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂
∴f（x₂）=f（ $\text{[math]}$ ）=f（ $\text{[math]}$ ）+f（x₁）
∴f（x₂）-f（x₁））=f（ $\text{[math]}$ ）＜0
∴f（x）是减函数
∴ $\text{[math]}$
解得：0＜x≤1或4≤x＜5
故答案为：（0，1]∪[4，5）
点评：本题主要考查抽象函数所构造不等式的解法，一般来讲，这类不等式的解法利用函数的单调性定义求解，要注意利用主条件等价转化构造函数单调性模型，将函数值关系转化为自变量关系解决．