Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₅+a₁₃=34，S₃=9．
（1）求等差数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的通项公式为bn=

1

anan+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）设数列{c_n}的通项公式为cn=

an

an+t

，问是否存在正整数t，使得c₁，c₂，c_m（m≥3，m∈N^*）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）等差数列{a_n}中，由已知条件可得首项a₁、公差b，从而得通项公式a_n；
（2）由a_n得出bn=

1

anan+1

，用裂项法求出{b_n}的前n项和T_n；
（3）假设存在满足题意的t和m，由c₁、c₂、c_m成等差数列，可得m、t的关系式，从而求得t、m的值．

解答：解：（1）在等差数列{a_n}中，由a₅+a₁₃=34，S₃=9得

(a1+4d)+(a1+12d)=34 3a1+3d=9

；
解得a₁=1，b=2；
∴{a_n}的通项公式为a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）∵a_n=2n-1，∴bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）；
∴{b_n}的前n项和T_n=

1

2

（1-

1

3

）+

1

2

（

1

3

-

1

5

）+…+

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

；
（3）假设存在满足题意的正整数t和m，
∵c_n=

an

an+t

=

2n-1

2n-1+t

，且c₁、c₂、c_m（m≥3，m∈N^*）成等差数列，
∴c₁+c_m=2c₂，即

1

1+t

+

2m-1

2m-1+t

=2×

3

3+t

，
∴m=3+

4

t-1

；
由t、m均为正整数，且m≥3，可得

t=2 m=7

，

t=3 m=5

，

t=5 m=4

，满足题意．

点评：本题考查了等差数列的通项公式与数列求和的裂项法等知识，也考查了一定的运算能力，是易错题．