Question

设正项等差数列{a_n}的前2013项和等于2013，则

1

a2

+

1

a2012

的最小值为

2

．

Answer 1

分析：利用等差数列的前n项和公式可得a₁+a₂₀₁₃=2．利用等差数列的性质可得a₂+a₂₀₁₂=2．再利用基本不等式的性质可得

1

a2

+

1

a2012

=

1

2

(a2+a2012)(

1

a2

+

1

a2012

)=

1

2

(

a2012

a2

+

a2

a2012

)+1≥

1

2

×2×

a2012 a2 × a2 a2012

+1即可得出．

解答：解：由题意可得a_n＞0，S2013=

2013(a1+a2013)

2

=2013，解得a₁+a₂₀₁₃=2．
由等差数列的性质可得a₂+a₂₀₁₂=2．
∴好

1

a2

+

1

a2012

=

1

2

(a2+a2012)(

1

a2

+

1

a2012

)=

1

2

(

a2012

a2

+

a2

a2012

)+1≥

1

2

×2×

a2012 a2 × a2 a2012

+1=2．
当且仅当a₂=a₂₀₁₂=1上=时取等号．
∴

1

a2

+

1

a2012

的最小值为2．
故答案为2．

点评：熟练掌握等差数列的前n项和公式、等差数列的性质、基本不等式的性质等是解题的关键．