Question

.（本题满分12分）已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线经过坐标原点，并且两条渐近线与以点为圆心、1为半径的圆相切，双曲线C的一个焦点与点A关于直线对称. (1)求双曲线C的渐近线和双曲线的方程； (2)设直线与双曲线C的左支交于P、Q两点，另一直线经过及线段PQ的中点N，求直线在轴的截距的取值范围.

Answer 1

(1)      (2)

解析:

(1) 设双曲线的渐近线方程为，即，

∵双曲线的渐近线与已知的圆相切，圆心到渐近线的距离等于半径

∴     ∴双曲线的渐近线的方程为： ，又设双曲线的方程为：，则， ∵双曲线的渐近线的方程为，且有一个焦点为∴，        

解之得：，故双曲线的方程是： 

(2) 联立方程组，消去得：

  ∵直线与双曲线C的左支交于两点，方程（*）两根、为负数，

∴   

又∵线段PQ的中点坐标满足，

， 

∴直线的方程为：，即是，，直线在轴的截距    

又∵时，的取值范围是：

∴直线的截距的取值范围是