题目内容

已知斜率为2的直线l过抛物线y²=px（p＞0）的焦点F，且与y轴相交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为1，则P=________．

$\text{[math]}$
分析：由题意，经过F且斜率为2的直线l方程为y=2（x- $\text{[math]}$ ），与抛物线方程消去y得关于x的一元二次方程，运用根与系数的关系并结合抛物线的定义，可得|AB|= $\text{[math]}$ p．用点到直线的距离公式算出原点O到直线AB的距离d= $\text{[math]}$ p，根据△OAF面积为1列式，解之可得实数p的值．
解答：∵抛物线y²=px（p＞0）的焦点为F（ $\text{[math]}$ ，0），
∴经过F且斜率为2的直线l方程为y=2（x- $\text{[math]}$ ）
由 $\text{[math]}$ ，消去y得4x²-3px+p²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得x₁+x₂= $\text{[math]}$ p
结合抛物线的定义，得|AB|=x₁+x₂+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ p
将直线y=2（x- $\text{[math]}$ ）化成一般式，得2x-y- $\text{[math]}$ =0
∴原点O到直线AB的距离d= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ p
由此可得，△OAF的面积为S_△OAF= $\text{[math]}$ ×|AB|×d=1，即 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ p× $\text{[math]}$ p=1
解之得p= $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题给出抛物线的焦点弦与原点构成面积为1的三角形，求参数p之值，着重考查了抛物线的方程、简单几何性质和直线与抛物线的关系等知识，属于中档题．