Question

（2012•郑州二模）已知斜率为2的直线l过抛物线y²=px（p＞0）的焦点F，且与y轴相交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为1，则P=

4

4 5

．

Answer 1

分析：由题意，经过F且斜率为2的直线l方程为y=2（x-

p

4

），与抛物线方程消去y得关于x的一元二次方程，运用根与系数的关系并结合抛物线的定义，可得|AB|=

5

4

p．用点到直线的距离公式算出原点O到直线AB的距离d=

5

10

p，根据△OAF面积为1列式，解之可得实数p的值．

解答：解：∵抛物线y²=px（p＞0）的焦点为F（

p

4

，0），
∴经过F且斜率为2的直线l方程为y=2（x-

p

4

）
由

y2=px y=2(x- p 4 )

，消去y得4x²-3px+p²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得x₁+x₂=

3

4

p
结合抛物线的定义，得|AB|=x₁+x₂+

p

2

=

5

4

p
将直线y=2（x-

p

4

）化成一般式，得2x-y-

p

2

=0
∴原点O到直线AB的距离d=

|- p 2 |

5

=

5

10

p
由此可得，△OAF的面积为S_△OAF=

1

2

×|AB|×d=1，即

1

2

×

5

4

p×

5

10

p=1
解之得p=

4

4 5

故答案为：

4

4 5

点评：本题给出抛物线的焦点弦与原点构成面积为1的三角形，求参数p之值，着重考查了抛物线的方程、简单几何性质和直线与抛物线的关系等知识，属于中档题．