Question

【题目】已知函数，其中.

（1）设是的导函数，求函数的极值；

（2）是否存在常数，使得时， 恒成立，且有唯一解，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）极大值为，没有极小值；（2）.

【解析】试题分析：（1）求导，求得，（ ）求导，根据导数与函数单调性的关系，即可求得函数的极值；（2）由（1）可知：必然存在，使得在 单增， 单减，且，求得的表达式，存在使得，代入即可求得，即可求得的值．

试题解析：

（1）

在 单增；在单减，

极大值,没有极小值

（2）由（1）知： ，且 在单减，且时<0

则必然存在 ，使得在 单增， 单减；

且 ，即 ①

此时：当 时，由题意知：只需要找实数 使得

将①式带入知：

得到 ，从而.