Question

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=x²-x+1，实数a满足|x-a|＜1，求证：|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1）．

Answer 1

分析：化简|f（x）-f（a）|为|x-a||x+a-1|，小于|x+a-1|即|（x-a）+（2a-1）|．再由|（x-a）+（2a-1）|≤|x-a|+|2a-1|＜1+2|a|+1，从而证得结论．

解答：证明：∵函数f（x）=x²-x+1，实数a满足|x-a|＜1，
∴|f（x）-f（a）|=|x²-x+1-（a²-a+1）|=|x-a||x+a-1|＜|x+a-1|
=|（x-a）+（2a-1）|≤|x-a|+|2a-1|＜1+2|a|+1=2（|a|+1），
即|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1）成立．

点评：本题主要考查绝对值不等式的性质的应用，属于中档题．