题目内容
已知椭圆C：
（a>b>0）的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切。
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足
（O为坐标原点），当
时，求实数t取值范围。
（a>b>0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切。（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足
（O为坐标原点），当时，求实数t取值范围。解：（1）由题意知
，
所以
，即a2=2b2
又因为
，
所以a2=2，b2=1
故椭圆C的方程为
。
（2）由题意知直线AB的斜率存在
设AB：y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）
由
得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0
∵
∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），
∵点P在椭圆上，
∴
∴16k2=t2（1+2k2）
∵
∴
∴
∴
∴（4k2-1）（14k2+13）>0，
∴
，
∴
∵16k2=t2（1+2k2），
∴
∴
或
∴实数t取值范围为（-2，-
）∪（
，2）。
，所以
，即a2=2b2又因为
，所以a2=2，b2=1
故椭圆C的方程为
。（2）由题意知直线AB的斜率存在
设AB：y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）
由
得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0∵
∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），
∵点P在椭圆上，
∴
∴16k2=t2（1+2k2）
∵
∴
∴
∴
∴（4k2-1）（14k2+13）>0，
∴
，∴
∵16k2=t2（1+2k2），
∴
∴
或∴实数t取值范围为（-2，-
）∪（，2）。
练习册系列答案
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+
=1(a＞b＞0)，直线y=x+
与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径
，0)求实数k的取值范围。
+
=1(a＞b＞0)，直线y=x+
与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F1PF2的重心为G，内心为I，且IG∥F1F2。⑴求椭圆C的方程。⑵若直线L：y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于不同两点A，B且线段AB的垂直平分线过定点C(
，0)求实数k的取值范围。
（a＞b＞0），直线y=x+
与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，F1、F2为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F1PF2的重心为G，内心为I，且IG∥F1F2。
，0），求实数k的取值范围。
+
（a＞b＞0）的焦距为4，且过点P（
，
）．
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