Question

已知椭圆C：+（a＞b＞0）的焦距为4，且过点P（，）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设Q（x，y）（xy≠0）为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E．取点A（0，2），连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D．点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据椭圆的焦距为4，得到c==2，再由点P（）在椭圆C上得到，两式联解即可得到a²=8且b²=4，从而得到椭圆C的方程；
（II）由题意得E（x，0），设D的坐标为（x_D，0），可得向量、的坐标，根据AD⊥AE得，从而算出x_D=-，因为点G是点D关于y轴的对称点，得到G（，0）．直线QG的斜率为k_QG=，结合点Q是椭圆C上的点化简得k_QG=-，从而得到直线QG的方程为：y=-（x-），将此方程与椭圆C的方程联解可得△=0，从而得到方程组有唯一解，即点Q是直线QG与椭圆C的唯一公共点，由此即得直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点．
解答：解：（I）∵椭圆C：+（a＞b＞0）的焦距为4，
∴c=2，可得=2…①
又∵点P（）在椭圆C上
∴…②
联解①②，可得a²=8且b²=4，椭圆C的方程为；
（II）由题意，得E点坐标为（x，0），
设D（x_D，0），可得=（x，-），=（x_D，-），
∵AD⊥AE，可得
∴xx_D+（-）•（-）=0，即xx_D+8=0，得x_D=-
∵点G是点D关于y轴的对称点，∴点G的坐标为（，0）
因此，直线QG的斜率为k_QG==
又∵点Q（x，y）在椭圆C上，可得
∴k_QG==-
由此可得直线QG的方程为：y=-（x-），
代入椭圆C方程，化简得（）x²-16xx+64-16=0
将和8-2=x代入上式，得8x²-16xx+8=0，
化简得x²-2xx+=0，所以△=，
从而可得x=x，y=y是方程组的唯一解，即点Q是直线QG与椭圆C的唯一公共点．
综上所述，可得直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点．
点评：本题给出椭圆的焦距和椭圆上的点P的坐标，求椭圆的方程并由此讨论直线QG与椭圆公共点的个数问题．着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．