Question

（本小题满分10分）
在三棱锥S—ABC中,底面是边长为2的正三角形，点S在
底面ABC上的射影O恰是BC的中点,侧棱SA和底面成45°角．
(1) 若D为侧棱SA上一点，当为何值时，BD⊥AC；
(2) 求二面角S—AC—B的余弦值大小．

Answer 1

（1）． (2) .

本试题主要是考查了立体几何中线线垂直的证明以及二面角的平面角的求解的综合运用。
（1）建立合理的空间直角坐标系，然后表示向量的坐标，利用向量的数量积为零来证明垂直。
（2）结合平面的法向量的坐标，和法向量的夹角公式，来表示二面角的平面角的大小。
以O点为原点,OC为x轴,OA为y轴,OS为z轴建立空间直角坐标系．因为是边长为的正三角形，又与底面所成角为，所以∠，所以．
所以O(0,0,0)，C(,0,0)，A(0,3,0)，S(0,0,3)，B(－,0,0)．…………………………2分

（1）设AD=a，则D(0,3－a,a)，所以=(－,3－a,a)，
=(,－3,0)．若BD⊥AC，则·=3－3(3－a)=0，
解得a=2，而AS=3，所以SD=，
所以．………………………5分
(2)因为=(0,－3,3)，=(2,0,0)
设平面ACS的法向量为n₁=(x,y,z),
则
令z=1，则x=，y=1，所以n₁=(,1,1)………………………………………………………7分
而平面ABC的法向量为n₂=(0,0,1), ………………………………………………………………8分
所以cos<n₁,n₂>=，又显然所求二面角的平面角为锐角，
故所求二面角的余弦值的大小为.……………………………………………………………10分