题目内容
【题目】（本小题满分12分）
已知抛物线C的方程C：y2="2" p x（p＞0）过点A（1，-2）.
（I）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于
？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。
【答案】（I）抛物线C的方程为
，其准线方程为
（II）符合题意的直线l 存在，其方程为2x+y-1 =0.
【解析】
试题（Ⅰ）求抛物线标准方程，一般利用待定系数法，只需一个独立条件确定p的值：（－2）2＝2p·1，所以p＝2．再由抛物线方程确定其准线方程：，（Ⅱ）由题意设
：
，先由直线OA与的距离等于根据两条平行线距离公式得：
解得
，再根据直线与抛物线C有公共点确定
试题解析：解 （1）将（1，－2）代入y2＝2px，得（－2）2＝2p·1，
所以p＝2．
故所求的抛物线C的方程为
其准线方程为．
（2）假设存在符合题意的直线，
其方程为．
由
得
．
因为直线与抛物线C有公共点，
所以Δ＝4＋8t≥0，解得
．
另一方面，由直线OA到的距离
可得，解得．
因为－1[－
，＋∞），1∈[－，＋∞），
所以符合题意的直线存在，其方程为
．
考点：抛物线方程，直线与抛物线位置关系
【名师点睛】求抛物线的标准方程的方法及流程
（1）方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．
（2）流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．
提醒：求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2=mx或x2=my（m≠0）．
【题型】解答题
【结束】
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【题目】已知椭圆
：
的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点
在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线
过椭圆左焦点
交椭圆于
，
为椭圆短轴的上顶点，当直线
时，求
的面积.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）根据椭圆的几何性质以及等边三角形的性质，得到
的一个关系式，结合
求得
的关系式，将点
的坐标代入椭圆方程，由此求得
的值，进而求得椭圆方程.（2）根据（1）求得
点的坐标，进而求得
和
的斜率，写出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，利用弦长公式求得
，由两点间距离公式求得
，进而求得三角形
的面积.
（1）由题意知
，即
，
，
即
，
∵
在椭圆上，∴
，
，
，
所以椭圆
的方程为.
（2）
，则
，
，∴
,
∴直线的方程为：
，
将其代入：
得：
设
，
∴
，
,
，
又
,
∴
.
