Question

如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别为AB，AA′的中点．
求证：CE，D′F，DA三条直线交于一点．

Answer 1

分析：先证四边形EFD'C为梯形，再证M∈平面AA'D'D，M∈平面ABCD，又平面AA'D'D∩平面ABCD=AD，根据公理2可证M∈AD．

解答：证明：在正方体ABCD-A′B′C′D′中，连A′B，
∵BC∥A′D′，BC=A′D′，
∴四边形A'D'CB为平行四边形，
∴A′B∥D′C，A′B=D′C，
又EF为△AA'B的中位线，
∴EF∥A′B，EF=

1

2

A′B，
∴EF∥D′C，EF=

1

2

D′C，
∴四边形EFD'C为梯形．
设D'F∩CE=M，则M∈D'F，M∈EC．
∴M∈平面AA'D'D，M∈平面ABCD．
又平面AA'D'D∩平面ABCD=AD，∴M∈AD，
即CE，D'F，DA三条直线交于一点．

点评：本题考查了公理4和公理2，考查了公理的熟练应用．