Question

设p,q为实数,α,β是方程x²-px+q=0的两个实根.数列{x_n}满足x₁=p,x₂=p²-q,x_n=px_n-1-qx_n-2(n=3,4,…).

(1)证明α+β=p,αβ=q;

(2)求数列{x_n}的通项公式;

(3)若p=1,q=,求{x_n}的前n项和S_n.

Answer 1

解:(1)由于α，β为方程x²-px+q=0的根，

则(x-α)(x-β)=x²-px+qα+β=p，αβ=q.

(2)由α+β=p，αβ=q.

从而设x_n=px_n-1-qx_n-2)可写成x_n=(α+β)x_n-1-αβx_n-2(n=3,4,…).

∴x_n-αx_n-1=β(x_n-1-αx_n-2)(n=3,4,…).

令y_n=x_n-αx_n-1(n=2,3,…)，

则有y₂=x₂-αx₁=p²-p+αp=β²，

y_n=βy_n-1=β²y_n-2=…=β^n-2y₂=βⁿ(n≥3).

故当n≥3时，x_n=αx_n-1+y_n=αx_n-1+βⁿ

               =α(αx_n-2+β^n-1)+βⁿ=α²x_n-2+(αβ^n-1+βⁿ)

               =……

               =α^n-2x₂+(α^n-3β³+α^n-4β⁴+…αβ^n-1+βⁿ).

而x₁=α+β，x₂=(α+β)²-αβ=α²+αβ+β²，

所以当n≥3时x_n=αⁿ+α^n-1β+α^n-2β²+…+αβ^n-1+βⁿ.

故对n≥1都有x_n=αⁿ+α^n-1β+α^n-2β²+…+αβ^n-1+βⁿ.

故

(3)把p=1，q=，则α=β=，这时x_n=(n+1)βⁿ=.

其前n项和为

S_n=2β¹+3β²+…+(n+1)βⁿ=1β⁰+2β¹+3β²+…+(n+1)βⁿ-1β⁰，

且S_n-βS_n=β⁰+β¹+β²+…+βⁿ-(n+1)βⁿ⁺¹-β⁰(1-β)

        =

∵β=1-β=，

故S_n=2[-(n+1)-]=3-.