题目内容
已知函数
是增函数．（I）求实数p的取值范围；
（II）设数列{an}的通项公式为
，前n项和为S，求证：Sn≥2ln（n+1）．
【答案】分析：（I）求得函数的定义域，利用函数为增函数，可得导数大于0，再换元，利用分离参数法，求函数的最值，即可求得实数p的取值范围；
（II）先证明
，对x≥1恒成立，从而可得
，再利用对数的运算性质，即可证得结论．
解答：（I）解：由题意，
，∴x≥1，∴函数f（x）的定义域为[1，+∞），
由函数f（x）是增函数，可知
对x＞1恒成立，…（3分）
令
，则
，注意到t2+1≥2t＞0，所以
，即
，
所以p≥1为所求．…（6分）
（II）证明：由（I）知，
是增函数，
所以f（x）≥f（1）=0，即
，对x≥1恒成立．…（8分）
注意到
，所以
．…（10分）
∴
=
=ln（n+1）2=2ln（n+1）
即Sn≥2ln（n+1）成立…（12分）
点评：本题考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查利用分离参数法求参数的范围，考查学生的计算能力，属于中档题．
（II）先证明
，对x≥1恒成立，从而可得，再利用对数的运算性质，即可证得结论．解答：（I）解：由题意，
，∴x≥1，∴函数f（x）的定义域为[1，+∞），由函数f（x）是增函数，可知
对x＞1恒成立，…（3分） 令
，则，注意到t2+1≥2t＞0，所以，即，所以p≥1为所求．…（6分）
（II）证明：由（I）知，
是增函数，所以f（x）≥f（1）=0，即
，对x≥1恒成立．…（8分）注意到
，所以．…（10分）∴
=
=ln（n+1）2=2ln（n+1）即Sn≥2ln（n+1）成立…（12分）
点评：本题考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查利用分离参数法求参数的范围，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
世纪百通期末金卷系列答案
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，
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