Question

己知

1

2

≤2x≤(

1

4

)x-3，求函数y=9^x-2•3^x+5的值域．

Answer 1

分析：先由

1

2

≤2x≤(

1

4

)x-3得到x的范围，再用t将3^x换元，转化为二次函数在给定区间上最值问题，利用配方法，可求函数的值域．

解答：解：由于

1

2

≤2x≤(

1

4

)x-3，则2^-1≤2^x≤（2^-2）^x-3
解得-1≤x≤2
若设3^x=t，则t∈[

1

3

，9]
y=9^x-2•3^x+5=t²-2t+5=（t-1）²+4
∵t∈[

1

3

，9]，
∴t=1时，y_min=4；t=9时，y_max=68
∴函数的值域为[4，68]．

点评：本题考查复合函数的值域，考查换元法的运用，考查配方法，属于中档题．