Question

【题目】若函数的反函数记为，已知函数．

（1）设函数，试判断函数的极值点个数；

（2）当时，，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）个；（2）．

【解析】

试题分析：（1）对函数求导,判断单调性,根据零点存在性定理得出极值点个数；（2）构造新函数,求导判断导函数的正负情况,先研究不带参数的部分,得到,因此把分为三部分,研究,和得出函数的单调性和最值,从而求出的范围．

试题解析：（1），当时，是减函数，也是减函数，

∴在上是减函数，当时，，

当时，，∴在上有且只有一个变号零点，

∴在定义域上有且只有一个极值点．．

（2）令，要使总成立，只需时，，对求导得，

令，则，

∴在上为增函数，∴．

①当时，恒成立，∴在上为增函数，∴，即

恒成立；

②当时，在上有实根，∵在上为增函数，

∴当时，，∴，不符合题意；

③当时，恒成立，∴在上为减函数，则，不符合题意．

综合①②③可得，所求的实数的取值范围是．