Question

双曲线x²-y²=2的左、右焦点分别为F₁，F₂，点P_n（x_n，y_n）（n=1，2，3…）在其右支上，且满足|P_n+1F₂|=|P_nF₁|，P₁F₂⊥F₁F₂，则x₂₀₀₈的值是（　　）

• A．4016

  2

• B．4015

  2

• C．4016
• D．4015

Answer 1

分析：根据双曲线的定义，双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值等于2a，可得到P_n+1F₁|-|P_n+1F₂|=2

2

，在根据|P_n+1F₂|=|P_nF₁|，P₁F₂⊥F₁F₂，判断出数列{P_nF₁|}为等差数列，公差为2

2

，首项为3

2

，求出|P₂₀₀₈F₁|，在根据双曲线的第二定义，双曲线上的点到左焦点的距离与到左准线的距离比等于离心率，求出x₂₀₀₈的值．

解答：解：∵P_n+1点在双曲线x²-y²=2右支上，∴|P_n+1F₁|-|P_n+1F₂|=2

2

又∵|P_n+1F₂|=|P_nF₁|，∴|P_n+1F₁|-|P_nF₁|=2

2

∴数列{P_nF₁|}为等差数列，公差为2

2

∵P₁F₂⊥F₁F₂，∴|P₁F₂|=

2

，则|P₁F₁|=3

2

∴|P₂₀₀₈F₁|=|P₁F₁|+2007×2

2

=3

2

+2007×2

2

=4017

2

∵双曲线x²-y²=2的左准线方程为x=-1，离心率为

2

，
设P₂₀₀₈到左准线距离为d，则

|P2008F1|

d

=

2

，∴d=4017
又∵d=x₂₀₀₈+1，∴x₂₀₀₈=4016
故选C

点评：本题主要考查了双曲线第一第二定义的应用，以及等差数列的判断，属于圆锥曲线与数列的综合题．