Question

17．已知数列{a_n}是递增的等比数列，且a₁+a₄=9，a₂a₃=8．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{a}_{2}}{{b}_{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=（n²+n+2）•2ⁿ（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q，由a₁+a₄=9，a₂a₃=8．可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}（1+{q}^{3}）=9}\\{{a}_{1}^{2}{q}^{3}=8}\end{array}\right.$，解得并利用数列{a_n}是递增的等比数列即可得出；
（2）由数列{b_n}满足$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{a}_{2}}{{b}_{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=（n²+n+2）•2ⁿ（n∈N^*），利用递推关系可得：$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{{2}^{n-1}}{{b}_{n}}$=（n²+n+2）•2ⁿ-[（n-1）²+（n-1）+2]•2^n-1，化为：b_n=$\frac{1}{{n}^{2}+3n+2}$．可得b_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{8}，n=1}\\{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}，n≥2}\end{array}\right.$．再利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，∵a₁+a₄=9，a₂a₃=8．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}（1+{q}^{3}）=9}\\{{a}_{1}^{2}{q}^{3}=8}\end{array}\right.$，解得a₁=1，q=2；或a₁=8，q=$\frac{1}{2}$．
∵数列{a_n}是递增的等比数列，∴a₁=8，q=$\frac{1}{2}$舍去．
∴a₁=1，q=2；
∴a_n=2^n-1．
（2）∵数列{b_n}满足$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{a}_{2}}{{b}_{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=（n²+n+2）•2ⁿ（n∈N^*），
∴当n≥2时，$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{a}_{2}}{{b}_{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{{b}_{n-1}}$=[（n-1）²+（n-1）+2]•2^n-1，
可得$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{{2}^{n-1}}{{b}_{n}}$=（n²+n+2）•2ⁿ-[（n-1）²+（n-1）+2]•2^n-1，化为：b_n=$\frac{1}{{n}^{2}+3n+2}$．
当n=1时，$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$=8，∴b₁=$\frac{1}{8}$．
∴b_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{8}，n=1}\\{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}，n≥2}\end{array}\right.$．
∴当n≥2时，数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{8}$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{4}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{11}{24}$-$\frac{1}{n+2}$．
当n=1时也成立，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{11}{24}$-$\frac{1}{n+2}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其单调性、递推关系的应用、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．