Question

【题目】已知函数，函数 (a>0)，

若存在，使得成立，则实数的取值范围是(　　)

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】∵，

①当x∈[0, ]时,f(x)= 在R上是单调递减函数，

∴f()f(x)f(0),即0f(x) ，

∴f(x)的值域为[0, ]；

②当x∈(,1]时,f(x)= ，

∴f′(x)= =，

∴当x>时,f′(x)>0,即f(x)在(,+∞)上单调递增，

∴f(x)在(,1]上单调递增，

∴f()<f(x)f(1),即<f(x)1，

∴f(x)的值域为[,1].

综合①②,f(x)的值域为[0,1].

∵g(x)=asin()2a+2,(a>0),且x∈[0,1]，

∴0x,则0sin(x) ，

∵a>0,则0asin(x) a，

∴22ag(x)2a，

∴g(x)的值域为[22a,2a]，

∵存在x1,x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立，

∴[0,1]∩[22a,2a]≠，

若[0,1]∩[22a,2a]=,则2a<0或22a>1，

∴a<或a>，

∴当[0,1]∩[22a,2a]≠时,a的取值范围为[12, ]，

∴实数a的取值范围是[,].

故答案为：D.