Question

在数列{a_n}中，a₁=

1

3

，并且对于任意n∈N^*，且n＞1时，都有a_n•a_n-1=a_n-1-a_n成立，令b_n=

1

an

（n∈N^*）．
（I）求数列{b_n}的通项公式；
（II）求数列{

an

n

}的前n项和T_n，并证明T_n＜

3

4

-

1

n+2

．

Answer 1

分析：（I）、当n=1时，先求出b₁=3，当n≥2时，求得b _n+1与b_n的关系即可知道b_n为等差数列，然后便可求出数列{b_n}的通项公式；
（II）根据（I）中求得的b_n的通项公式先求出数列{

an

n

}的表达式，然后求出T_n的表达式，根据不等式的性质即可证明T_n＜

3

4

-

1

n+2

．

解答：解：（I）当n=1时，b₁=

1

a1

=3，
当n≥2时，b_n-b_n-1=

1

an

-

1

an-1

=

an-1-an

an•an-1

=1，
∴数列{b_n}是首项为3，公差为1的等差数列，
∴数列{b_n}的通项公式为b_n=n+2．

（II）∵

an

n

=

1

nbn

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴T_n=

a1

1

+

a2

2

+

a3

3

+…+

an-1

n-1

+

an

n

=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

n-1

-

1

n+1

）+（

1

n

-

1

n+2

）]=

1

2

[

3

2

-（

1

n+1

+

1

n+2

）]
=

1

2

[

3

2

-

2n+3

(n+1)(n+2)

]，
∵

2n+3

(n+1)(n+2)

＞

2n+2

(n+1)(n+2)

=

2

n+2

，
∴-

2n+3

(n+1)(n+2)

＜-

2

n+2

，
∴T_n＜

3

4

-

1

n+2

．

点评：本题主要考查了数列的递推公式以及等差数列与不等式的结合，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．