Question

【题目】在直角坐标系中，圆的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求圆的极坐标方程与直线的直角坐标方程；

（2）设直线与圆相交于，两点，求圆在，处两条切线的交点坐标．

Answer 1

【答案】（1）圆的极坐标方程为，直线的直角坐标方程为；（2）.

【解析】

（1）由题意结合直角坐标方程与极坐标方程的转化公式可得圆的极坐标方程；转化直线的极坐标方程为，再利用直角坐标方程与极坐标方程的转化公式即可得直线的直角坐标方程；

（2）由题意联立方程组可得，的坐标，结合直线与圆相切的性质、直线方程的求解即可得两切线方程，联立方程即可得解.

（1）圆的方程可变为，

所以圆的极坐标方程为即；

直线的极坐标方程可变为，

所以直线的直角坐标方程为即；

（2）由题意联立方程组，解得或，

不妨设点，，设过，处的切线分别为，，

圆的圆心为，半径为，

易得，

由直线的斜率可得直线的斜率，

所以直线的方程为即，

由可得，

所以圆在，处两条切线的交点坐标为.