题目内容
在△ABC中，AC=10，B=45°，cosC=
．
（1）求AB的长；
（2）若D是AB中点，求中线CD的长．
| 4 | 5 |
（1）求AB的长；
（2）若D是AB中点，求中线CD的长．
分析：（1）由cosC的值，以及C为三角形内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，再由sinB及AC的长，利用正弦定理即可求出AB的长；
（2）利用内角和定理及诱导公式得到sinA=sin（B+C），将B度数代入利用两角和与差的正弦函数公式化简，将sinC与cosC的值代入求出sinA的值，再由sinB与AC的长，利用正弦定理求出BC的长，在三角形BCD中，利用余弦定理即可求出CD的长．
（2）利用内角和定理及诱导公式得到sinA=sin（B+C），将B度数代入利用两角和与差的正弦函数公式化简，将sinC与cosC的值代入求出sinA的值，再由sinB与AC的长，利用正弦定理求出BC的长，在三角形BCD中，利用余弦定理即可求出CD的长．
解答：解：（1）∵cosC=
，0＜C＜180°，
∴sinC=
=
，
由正弦定理得：
=
，即
=
，
解得：AB=6
；
（2）∵A+B+C=180°，B=45°，cosC=
，sinC=
，
∴sinA=sin（B+C）=sin（45°+C）=
（cosC+sinC）=
，
由正弦定理得：
=
，即
=
，
解得：BC=14，
则由余弦定理得：CD2=BC2+BD2-2BC•BD•cosB=196+18-84=130，
解得CD=
．
| 4 |
| 5 |
∴sinC=
| 1-cos2C |
| 3 |
| 5 |
由正弦定理得：
| AB |
| sinC |
| AC |
| sinB |
| AB | ||
|
| 10 | ||||
|
解得：AB=6
| 2 |
（2）∵A+B+C=180°，B=45°，cosC=
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
∴sinA=sin（B+C）=sin（45°+C）=
| ||
| 2 |
7
| ||
| 10 |
由正弦定理得：
| BC |
| sinA |
| AC |
| sinB |
| BC | ||||
|
| 10 | ||||
|
解得：BC=14，
则由余弦定理得：CD2=BC2+BD2-2BC•BD•cosB=196+18-84=130，
解得CD=
| 130 |
点评：此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
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