Question

已知函数f（x）=ln（1+ax）-x²（a＞0，x∈（0，1]）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若不等式对一切正整数n恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求导数，研究导函数的函数值，通过导数大于0从而确定出函数f（x）的单调递增区间即可，求单调递增区间必须注意函数的定义域．
（II）先从不等式分离出参数λ，即，欲使此式恒成立，只须λ不小于右边函数式的最大值即可，对其求导数，研究函数的极值点，通过研究单调性从而确定出最大值，进而求出变量λ的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）（2分）
=，
由-2ax²-2x+a=0，得．
∵a＞0，∴，．
又∵．
∴函数f（x）的单调递增区间为，递减区间为．（6分）

（Ⅱ）不等式可变为，即为．
设（x≥1），，
令g'（x）=0，得x=-1或x=2．（10分）
∵当x∈（1，2）时，g'（x）＞0，当x∈（2，+∞）时，g'（x）＜0．
∴当x=2时，g（x）取得最大值．
因此，实数λ的取值范围是．（14分）
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的．