Question

【题目】设椭圆的离心率为，已知但在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点，使得成立？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)答案见解析.

【解析】试题分析：（1）由题得，，结合，解得，可得椭圆的方程.

（2）联立方程组，整理得，设，则，把坐标化,可得，代入整理得，解得，可得解.

试题解析：（1）将代入，得，

由，得，结合，解得，

故椭圆的方程为.

（2）设，联立方程组，整理得，

设，则，

，

由于菱形的对角线垂直，故,

故，即，

即，

由已知条件知且，

所以，所以，

故存在满足题意的点，且的取值范围是，

当直线的斜率不存在时，不合题意.

点睛:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一．