题目内容

已知数列{a_n}、{b_n}满足： $数学公式$ ．
（1）求b₁，b₂，b₃，b₄；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）设S_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1，求实数a为何值时4aS_n＜b_n恒成立．

解：（1）∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
（2）∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴数列{ $\text{[math]}$ }是以-4为首项，-1为公差的等差数列
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ；
（3） $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
由条件可知（a-1）n²+（3a-6）n-8＜0恒成立即可满足条件，
设f（n）=（a-1）n²+（3a-6）n-8
当a=1时，f（n）=-3n-8＜0恒成立
当a＞1时，由二次函数的性质知不可能成立
当a＜1时，对称轴 $\text{[math]}$
f（n）在（1，+∞）为单调递减函数．
f（1）=（a-1）n²+（3a-6）n-8=（a-1）+（3a-6）-8=4a-15＜0
∴ $\text{[math]}$ ∴a＜1时4aS_n＜b恒成立
综上知：a≤1时，4aS_n＜b恒成立．
分析：（1）根据 $\text{[math]}$ ，求出 $\text{[math]}$ ，和 $\text{[math]}$ ，令n=1，2，3即可求得b₁，b₂，b₃，b₄；
（2）根据 $\text{[math]}$ ，进行变形得到 $\text{[math]}$ ，构造等差数列{ $\text{[math]}$ }，并求出其通项，进而可求出数列{b_n}的通项公式；
（3）根据（2）结果，可以求出数列{a_n}的通项公式，然后利用裂项相消法求S_n，构造函数f（n）=（a-1）n²+（3a-6）n-8，转化为求函数f（n）的最值问题，可求实数a的取值范围．
点评：此题是个难题．考查根据数列的递推公式利用构造法求数列的通项公式，及数列的求和问题，题目综合性强，特别是问题（3）的设置，数列与不等式恒成立问题结合起来，能有效考查学生的逻辑思维能力，体现了转化的思想和分类讨论的思想．