Question

【题目】已知函数.

(1)设函数,讨论函数的单调性；

(2)当 时，求证：.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）求出函数的解析式，进而得到其导数，然后根据的取值进行分类讨论可得函数的单调性；（2）由题意即证不等式成立，设 ，结合导数可得 ，然后再证明即可得到结论成立．

（1）由题意得，

所以，

令，得或．

①当时，

则当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．

②当时，

则当或时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．

③当时，恒成立，函数在上单调递增．

④当时，

则当或时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．

综上可得，当时，在上单调递减，在上单调递增；

当时，在和上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增；

当时，在和上单调递增，在上单调递减．

（2）由题意得即证不等式成立．

设，

则，

又，

∴当时，单调递减；当时，单调递增．

∴．

又，

∴在上单调递减，

∴，

∴，即．