题目内容

已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC= $数学公式$ ，BC=2，则二面角A-BC-D的大小是

A.
45°
B.
60°
C.
90°
D.
120°

C
分析：由已知中三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC= $\text{[math]}$ ，BC=2，取BC中点为E，连接AE、DE，易得到∠BED即为BCD和ABC所成二面角的平面角，解三角形DEA即可得到二面角A-BC-D的大小．
解答：取BC中点为E，连接AE、DE，则BCD和ABC所成二面角即为求∠BED，
∵AB=AC= $\text{[math]}$ ，
∴△ABC为等腰三角形；
∵E为BC中点；
∴AE⊥BC，BE= $\text{[math]}$ BC=1；
在直角△ABE中，由勾股定理得 AE²=AB²-BE²；
∴AE= $\text{[math]}$ ；
∵三个侧面和底面ABC全等；∴DE=AE= $\text{[math]}$ ；
∵△DBC≌△ABC；∴DB=AB= $\text{[math]}$ ；
又∵△ABC≌△BAD；
∴AD=BC=2；所以△ABE的三边AE=DE= $\text{[math]}$ 、AD=2； AE²+DE²=AD²；
所以AE⊥DE；∴∠DEA=90°
所以面BCD与面ABC所成二面角为90°；
故选C
点评：本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题，其中构造出∠BED即为BCD和ABC所成二面角的平面角，将二面角问题转化为解三角形问题，是解答本题的关键．