Question

4、（1）证明|sin2x|≤2|sinx|；（x为任意值）
（2）已知n为任意正整数，用数学归纳法证明|sinnx|≤n|sinx|．（x为任意值）

Answer 1

分析：（1）先利用三角函数的二倍角公式，再结合三角函数的有界性即可证明；
（2）用数学归纳法证明三角问题时分为两个步骤，第一步，先证明当当n=1时，结论显然成立，第二步，先假设假设当n=k时结论成立，利用此假设结合三角函数的和角公式以及三角函数值的有界性，证明当n=k+1时，结论也成立即可．

解答：证：（1）|sin2x|=|2sinx•cosx|=2|sinx|•|cosx|．
∵|cosx|≤1，
∴|sin2x|≤2|sinx|；
（2）当n=1时，结论显然成立．
假设当n=k时结论成立，
即|sinkx|≤k|sinx|．
当n=k+1时，
|sin（k+1）x|
=|sinkx•cosx+coskx•sinx|≤|sinkx•cosx|+|coskx•sinx|
=|sinkx|•|cosx|+|coskx|•|sinx|≤k|sinx|+|sinx|
=（k+1）|sinx|．
故当n为任意正整数时，结论均成立．

点评：本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式
设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n₀）成立（奠基）
2°假设P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于n₀的自然数n都成立