Question

设α，β，γ 都是锐角，且sinα+sinβ+sinγ=1，证明
（1）sin²α+sin²β+sin²γ≥；
（2）tan²α+tan²β+tan² γ≥．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据柯西不等式得：（sin²α+sin²β+sin²γ）（1+1+1）≥（1•sinα+1•sinβ+1•sinγ）²，结合题中条件即可证得；
（2）由恒等式tan²x=和重要结论：“若a，b，c＞0，则≥，”即可得出：得tan²α+tan²β+tan² γ=++-3≥-3，再进行放缩即得．
解答：证明：（1）由柯西不等式得：（sin²α+sin²β+sin²γ）（1+1+1）≥（1•sinα+1•sinβ+1•sinγ）²，
因为sinα+sinβ+sinγ=1，所以3（sin²α+sin²β+sin²γ）≥1，得：sin²α+sin²β+sin²γ≥．
（2）由恒等式tan²x=和若a，b，c＞0，则≥，
得tan²α+tan²β+tan² γ=++-3≥-3．
于是=≥=，
由此得tan²α+tan²β+tan² γ≥-3=．
点评：本小题主要考查一般形式的柯西不等式、三角函数的同角三角函数关系式、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．